Μία λύση χωρίς τη χρήση των παραμετρικών εξισώσεων της έλλειψης

print
email
آخرین بروزرسانی ۲۹ تیر ۱۳۹۲، ۱۵:۳۵ توسط Παντελής Πετρίδης

Κατεύθυνση Β' §3.3 Η έλλειψη, Άσκηση Β.4 (σελ. 112)

Άσκηση
Αν \(d\), \(d’\) είναι οι αποστάσεις των σημείων \(Γ(0,γ)\) και \(Γ’(0,-γ)\) από την εφαπτομένη της έλλειψης \({x^2 \over α^2}+{y^2 \over β^2}=1\) σε ένα σημείο της \(Μ_1(x_1,y_1)\), να αποδείξετε ότι \(d^2+d'^2=2α^2\).

Παρατηρήσεις
Επειδή το βιβλίο λύσεων χρησιμοποιεί τις παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης, είχα κάποιες αντιδράσεις από μαθητές για το ότι η άσκηση που τους ζήτησα είναι εκτός ύλης. Πράγματι, η λύση είναι εκτός ύλης, αλλά όχι η άσκηση, καθώς λύνεται εξίσου καλά και χωρίς τις παραμετρικές εξισώσεις.

Λύση
Η εφαπτομένη ε στο σημείο \(Μ_1\) έχει εξίσωση \({x_1x \over α^2}+{y_1y \over β^2}=1\) από όπου προκύπτει ότι \(β^2x_1x+α^2y_1y-α^2β^2=0\).
Άρα \(d^2+d'^2\) \(=\) \(d^2(Γ,ε)+d^2(Γ',ε)\) \(=\) \(({|β^2x_10+α^2y_1γ-α^2β^2| \over \sqrt{(β^2x_1)^2+(α^2y_1)^2}})^2+({|β^2x_10+α^2y_1(-γ)-α^2β^2| \over \sqrt{(β^2x_1)^2+(α^2y_1)^2}})^2\) \(=\) \(2{(α^2y_1γ)^2+(α^2β^2)^2 \over (β^2x_1)^2+(α^2y_1)^2}\) \(=\) \(2{α^4y_1^2γ^2+α^4β^4 \over β^4x_1^2+α^4y_1^2}\) \(=\) \(2α^2{α^2y_1^2γ^2+α^2β^4 \over β^4x_1^2+α^4y_1^2}\) \(\stackrel{\rm *}{=}\) \(2α^2{α^2y_1^2(α^2-β^2)+α^2β^4 \over β^2(α^2β^2-α^2y_1^2)+α^4y_1^2}\) \(=\) \(2α^2{α^4y_1^2-α^2β^2y_1^2+α^2β^4 \over α^4y_1^2-α^2β^2y_1^2+α^2β^4}\) \(=\) \(2α^2\)

(*) το \(Μ_1\) βρίσκεται στην έλλειψη, άρα ισχύει \({x_1^2 \over α^2}+{y_1^2 \over β^2}=1\) \(⇒\) \(β^2x_1^2+α^2y_1^2=α^2β^2\) \(⇒\) \(β^2x_1^2=α^2β^2-α^2y_1^2\).

Επέλεξα να λύσω ως προς το \(β^2x_1^2\) ώστε να το αντικαταστήσω. Όμοια θα μπορούσα να πράξω για το \(α^2y_1^2\). Σίγουρα έπρεπε να κάνω ένα από τα δύο, καθώς το αποτέλεσμά μου ήθελα να είναι ανεξάρτητο των \(x_1\), \(y_1\). Για τον ίδιο λόγο, κάνοντας κάτι τέτοιο θα έπρεπε να περιμένω την απλοποίηση όλων των ποσοτήτων που μετέχουν οι \(x_1\), \(y_1\) (και του \(β\) στη συνέχεια). Προτίμησα το πρώτο διότι εμφανίζεται μία φορά (λιγότερες πράξεις).

4108 بار خوانده شده است

نظر

هیچ نظری برای این مطلب وجود ندارد.

شما مجاز به ارسال نظرات نمی باشید. لطفا وارد شوید.