Μία μεθοδική λύση

print
email
Ultimo aggiornamento 20 Lug 2013 15:35 da Παντελής Πετρίδης

Κατεύθυνση Β' §3.3 Η έλλειψη, Άσκηση Β.3 (σελ. 112)

Άσκηση
Αν \(Μ(x,y)\) είναι ένα σημείο της έλλειψης \({x^2 \over α^2}+{y^2 \over β^2}=1\), να αποδείξετε ότι \(ME'=α+εx\) και \(ME=α-εx\).

Λύση του βιβλίου
Αν θέσουμε \(r=ME\) και \(r'=ME'\), τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της έλλειψης, θα ισχύει \(r'+r=2α\) (1).
Όμως, είναι \(r'=\sqrt{(x+γ)^2+y^2}\) και \(r=\sqrt{(x-γ)^2+y^2}\).
Επομένως, έχουμε \(r'^2-r^2=4γx\) ή, ισοδύναμα, \((r'-r)(r'+r)=4γx\).
Οπότε, λόγω της (1), θα ισχύει \(r'-r=2{γ \over α}x=2εx\). (2)
Λύνουμε το σύστημα των (1) και (2) και έχουμε \(r'=α+εx\) και \(r=α-εx\)

Παρατηρήσεις
Κάθε χρόνο δυσκολευόμουν να λύσω την άσκηση αυτή, κατέφευγα στο βιβλίο λύσεων, μάθαινα τη λύση και τελικά την επόμενη χρονιά ήταν σαν να την έβλεπα για πρώτη φορά. Κάποια στιγμή σκέφτηκα ότι πρέπει να ψάξω μία λύση πιο μεθοδική από αυτήν που δίνει το βιβλίο λύσεων. Κι αυτό γιατί, όταν αναρωτήθηκα τι θα απαντήσω στον μαθητή που θα με ρωτήσει «γιατί να είχα σκεφτεί κάτι τέτοιο;», δε βρήκα απάντηση.

Λύση
Το \(Μ(x,y)\) είναι σημείο της έλλειψης, άρα ισχύει \({x^2 \over α^2}+{y^2 \over β^2}=1\) από όπου προκύπτει ότι \(y^2=β^2(1-{x^2 \over α^2})\) (1), ενώ οι συντεταγμένες των σημείων \(Ε\), \(Ε’\) είναι γνωστές. Έτσι έχουμε \((ME')\) \(=\) \(\sqrt{(γ-x)^2+(0-y)^2}\) \(=\) \(\sqrt{γ^2+2γx+x^2+y^2}\) \(=\) \(\sqrt{γ^2+2γx+x^2+β^2(1-{x^2 \over α^2})}\) \(=\) \(\sqrt{γ^2+2γx+x^2+β^2-{β^2x^2 \over α^2}}\) \(=\) \(\sqrt{γ^2+β^2+2γx+x^2(1-{β^2 \over α^2})}\) \(=\) \(\sqrt{γ^2+β^2+2γx+x^2{α^2-β^2 \over α^2}}\) \(=\) \(\sqrt{γ^2+β^2+2α{γ \over α}x+x^2{γ^2 \over α^2}}\) \(=\) \(\sqrt{α^2+2αεx+(εx)^2}\) \(=\) \(\sqrt{(α+εx)^2}\) \(=\) \(|α+εx|\) \(\stackrel{\rm *}{=}\) \(α+εx\)
και όμοια προκύπτει και η δεύτερη ισότητα.

(*) ισχύει \(|α+εx|=α+εx\) διότι \(α+εx>0\) διότι διαδοχικά έχουμε \((-α≤x≤α⇒)\) \(x≥-α\) \(\stackrel{\rm ε>0}{⇒}\) \(εx≥-εα\) \(⇒\) \(εx≥-γ\) \(⇒\) \(α+εx≥α-γ\) \(\stackrel{\rm α>γ}{⇒}\) \(α+εx>0\).

Παρατηρήσεις
Τελικά η λύση είναι απλή και μεθοδική, και σε μία ερώτηση σαν την παραπάνω («γιατί να είχα σκεφτεί κάτι τέτοιο;»), μπορούν πια να βρεθούν διάφοροι λόγοι:
Η ιδέα είναι: προσπαθώ, ξεκινώντας από το πρώτο μέλος, να φτάσω στο δεύτερο.

Έχοντας αυτό ως δεδομένο και ξεκινώντας από το πρώτο μέλος παρατηρώ ότι
• τα σημεία \(Μ\), \(Ε’\), \(Ε\) έχουν δεδομένες συντεταγμένες, άρα παίρνω τον τύπο της απόστασης.

Στη συνέχεια
• εμφανίζονται οι μεταβλητές \(y\), \(β\), \(γ\) οι οποίες, όμως, απουσιάζουν από το δεύτερο μέλος, άρα, πρέπει να αντικατασταθούν από άλλες, και
• η εμφάνιση της τετραγωνικής ρίζας και η απουσία της στο δεύτερο μέλος της ισότητας με αναγκάζει να σκεφτώ τη δημιουργία ενός τέλειου τετραγώνου που θα «διώξει» τη ρίζα.

Δηλαδή, η ιδέα να ξεκινήσω από το πρώτο μέλος για να φτάσω στο δεύτερο με οδήγησε σε συλλογισμούς και τελικά στη λύση.

È stato letto 4244 volte

Commenti

Non ci sono commenti per questo articolo.

Non sei autorizzato a inserire commenti. Effettua il Login.