Μία διαφορετική λύση, μάλλον συντομότερη

print
email
Ultimo aggiornamento 06 Ott 2014 14:08 da Παντελής Πετρίδης

Κατεύθυνση Β' §3.4 Η υπερβολή, Άσκηση Β.4 (σελ. 124)

Άσκηση
Από ένα σημείο \(M_1(x_1,y_1)\) της υπερβολής \({x^2 \over α^2}+{y^2 \over β^2}=1\) φέρνουμε παράλληλες προς τις ασύμπτωτες. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμενου παραλληλόγραμμου είναι σταθερό.

Παρατηρήσεις
Παρακάτω δίνω μία λύση διαφορετική από αυτήν του βιβλίου λύσεων, αλλά δανείζομαι την ονοματολογία και το σχήμα του κάπως τροποποιημένο. Tο πλεονέκτημα της σε σχέση με τη λύση του βιβλίου είναι ότι δεν υπολογίζει τις συντεταγμένες του σημείου \(Μ_2\).

Λύση
Έστω \(M_2\), \(M_3\) οι άλλες δύο κορυφές του παραλληλογράμμου και \(M'_2\), \(M'_3\) οι προβολές του \(M_1\) στις ασύμπτωτες. Αν ονομάσουμε \(φ\) τη γωνία των ασύμπτωτων, τότε και οι γωνίες \(\hat{M_1M_2M'_2}\) και \(\hat{M_1M_3M'_3}\) είναι ίσες με τη \(φ\) (ως εντός εκτός και επί τα αυτά).
Διαδοχικά έχουμε \((OM_2M_1M_3)\) \(\stackrel{\rm (1)}{=}\) \(2(OM_2M_3)\) \(\stackrel{\rm (2)}{=}\) \(2⋅{1 \over 2}⋅OM_2⋅OM_3⋅ημφ)\) \(\stackrel{\rm (3)}{=}\) \(M_1M_3⋅M_1M_2⋅ημφ\) \(\stackrel{\rm (4)}{=}\) \({M_1M'_3 \over ημφ}⋅{M_1M'_2 \over ημφ}⋅ημφ\) \(=\) \({1 \over ημφ}⋅d(M_1,ε_1)⋅d(M_1,ε_2)\) \(\stackrel{\rm (5)}{=}\) \({1 \over ημφ}⋅{|βx_1-αy_1| \over \sqrt{β^2+(-α)^2}}⋅{|βx_1+αy_1| \over \sqrt{β^2+α^2}}\) \(=\) \({1 \over ημφ}⋅{|(βx_1)^2-(αy_1)^2| \over α^2+β^2}\) \(=\) \({1 \over ημφ}⋅{|β^2x_1^2-α^2y_1^2| \over α^2+β^2}\) \(\stackrel{\rm (6)}{=}\) \({1 \over ημφ}⋅{|α^2β^2| \over α^2+β^2}\) \(=\) \({1 \over ημφ}⋅{α^2β^2 \over α^2+β^2}\) \(=\) \(\text{σταθερό}\) (ανεξάρτητο των \(x_1\), \(y_1\)).

(1) Τα τρίγωνα \(\stackrel{\rm \triangle}{OM_2M_3}\) και \(\stackrel{\rm \triangle}{M_1M_2M_3}\)είναι ισεμβαδικά.
(2) Από τον τύπο εμβαδού τριγώνου \(E={1 \over 2}⋅β⋅γ⋅ημ\hat{A}\).
(3) \(OM_2=M_1M_3\) και \(OM_3=M_1M_2\) ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου.
(4) Από το ορθογώνιο τρίγωνο \(\stackrel{\rm \triangle}{M_1M_3M'_3}\) ισχύει \(ημφ={M_1M'_3 \over M_1M_3}\) άρα \(M_1M_3={M_1M'_3 \over ημφ}\), και όμοια από το ορθογώνιο τρίγωνο \(\stackrel{\rm \triangle}{M_1M_2M'_2}\) προκύπτει ότι \(M_1M_2={M_1M'_2 \over ημφ}\).
(5) H εξίσωση της \(ε_1\) είναι \(y={β \over α}⋅x\) και ισοδύναμα \(βx-αy=0\), άρα \(d(M_1,ε_1)={|βx_1-αy_1| \over \sqrt{β^2+(-α)^2}}\). Όμοια για την \(ε_2\).
(6) Το \(M_1\) βρίσκεται στην υπερβολή, άρα \({x_1^2 \over α^2}-{y_1^2 \over β^2}=1⇒β^2x_1^2-α^2y_1^2=α^2β^2\).

Ίσως δίνεται η εντύπωση ότι η λύση είναι περισσότερο περίπλοκη στο συλλογισμό της απ' ό,τι είναι, λόγω των απαλοιφών των παρονομαστών (παραπομπές 5 και 6). Οι απαλοιφές θα μπορούσαν να παρακαμφθούν. Έγιναν ώστε οι ποσότητες που προκύπτουν να είναι λιγότερο σύνθετες.
Χωρίς τις απαλοιφές αυτές η λύση θα ήταν
\((OM_2M_1M_3)\) \(=\) \(...\) \(=\) \({1 \over ημφ}⋅d(M_1,ε_1)⋅d(M_1,ε_2)\) \(=\) \({1 \over ημφ}⋅{|{β \over α}x_1-y_1| \over \sqrt{({β \over α})^2+(-1)^2}}⋅{|{β \over α}x_1+y_1| \over \sqrt{{β \over α}^2+1^2}}\) \(=\) \(...\) \(=\) \({1 \over ημφ}⋅{{β^2 \over α^2}x_1^2-y_1^2 \over \sqrt{({β^2 \over α^2})+1}}\) \(\stackrel{\rm (7)}{=}\) \({1 \over ημφ}⋅{{x_1^2 \over α^2}-{y_1^2 \over β^2} \over {1 \over α^2}+{1 \over β^2}}\) \(=\) \({1 \over ημφ}⋅{1 \over {1 \over α^2}+{1 \over β^2}}\) \(=\) \(\text{σταθερό}\).
(7) Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με \(β^2\) ώστε να εμφανιστεί η ποσότητα \({x_1^2 \over α^2}-{y_1^2 \over β^2}\).

Διερεύνηση
Η διερεύνηση της λύσης απαιτεί να πάρουμε περιπτώσεις για τη γωνία \(φ\). Το σχήμα και η διατύπωση της λύσης βασίστηκαν στο ότι η γωνία \(φ\) είναι οξεία. Οι άλλες δύο περιπτώσεις που προκύπτουν καλύπτονται εύκολα από την παραπάνω λύση (υπάρχουν μικρές διαφορές στην 4η παραπομπή):
· Αν η \(φ\) είναι αμβλεία, τότε τα ορθογώνια τρίγωνα στα οποία βασίστηκε η λύση θα χρησιμοποιούν την παραπληρωματική γωνία της \(φ\) όπου τα ημίτονα θα είναι ίσα.
· Αν η \(φ\) είναι ορθή, τότε \(ημφ=1\) και οι ισότητες \(M_1M_3={M_1M'_3 \over ημφ}\) και \(M_1M_2={M_1M'_2 \over ημφ}\) μας δίνουν τα προφανή \(M_1M_3=M_1M'_3\) και \(M_1M_2=M_1M'_2\) (τα σημεία \(M_2\), \(M'_2\) όπως και τα \(M_3\), \(M'_3\) θα ταυτίζονται).

Επέκταση
Το \(ημφ\) μπορεί να βρεθεί ως συνάρτηση των \(α\), \(β\) ως εξής:
Αν \(θ\) είναι η γωνία που σχηματίζει η \(ε_1\) με τον άξονα \(x΄x\), τότε \(φ=2θ\) ενώ \(εφθ=λ_{ε_1}={β \over α}\) (η γωνία που σχηματίζει η \(ε_2\) με τον άξονα έχει μέτρο \(θ\) λόγω συμμετρίας των ευθειών ως προς τον άξονα, αλλά \(λ_{ε_2}=-{β \over α}\) διότι λόγω του προσανατολισμού η γωνία θεωρείται ότι είναι η \(-θ\)).
Επομένως \(ημφ\) \(=\) \(ημ2θ\) \(=\) \({2εφθ \over 1+εφ^2θ}\) \(=\) \({2{β \over α} \over 1+({β \over α})^2}\) \(=\) \({2αβ \over α^2+β^2}\),
άρα \((OM_2M_1M_3)\) \(=\) \(...\) \(=\) \({1 \over ημφ}⋅{α^2β^2 \over α^2+β^2}\) \(=\) \({α^2+β^2 \over 2αβ}⋅{α^2β^2 \over α^2+β^2}\) \(=\) \({αβ \over 2}\).
Η τελευταία ποσότητα φανερώνει την ταύτιση στα αποτελέσματα των δύο λύσεων.

Με τρόπο όμοιο με τον παραπάνω μπορεί να λυθεί και η άσκηση Β.5 της ίδιας παραγράφου, ο οποίος είναι διαφορετικός και από τους δύο που προτείνει το βιβλίο λύσεων. Η άσκηση είναι:
Να αποδείξετε ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες των ασύμπτωτων της υπερβολής \({x^2 \over α^2}-{y^2 \over β^2}=1\) δίνεται από τον τύπο \(συνφ={2-ε^2 \over ε^2}\).

È stato letto 4215 volte

Commenti

Non ci sono commenti per questo articolo.

Non sei autorizzato a inserire commenti. Effettua il Login.