Μία διαφορετική και γρήγορη λύση

Κατεύθυνση Β' §2 Η ευθεία στο επίπεδο, Γενικές Ασκήσεις 3 (σελ. 77)

Άσκηση

Αν οι τρεις ευθείες α_κx + β_κy = 1, με κ = 1, 2, 3, διέρχονται από το ίδιο σημείο, να αποδείξετε ότι τα σημεία (α_κ,β_κ), κ = 1, 2, 3, είναι συγγραμικά. 

Παρατηρήσεις 

Παραθέτω μία λύση αρκετά διαφορετική και πολύ πιο γρήγορη από αυτήν στο βιβλίο λύσεων. Πιστεύω πως και οι δύο λύσεις βρίσκονται εκτός κάποιας συνηθισμένης μεθοδολογίας και ίσως αναπόφευκτα, καθώς και η άσκηση είναι ιδιαίτερη.

Η λύση που παραθέτω είναι παρόμοια με τη λύση της άσκησης Β’ομ.3 της σελ. 88 (πολική ευθεία κύκλου).

Λύση

Αν Μ(x₀,y₀) το σημείο από το οποίο διέρχονται οι τρεις ευθείες^?, τότε έχουμε

Μ(x₀,y₀)∈ε₁: α₁·x + β₁·y = 1 ⇒ α₁·x₀ + β₁· y₀ = 1 ⇒ (α₁,β₁)∈ε: x·x₀ + y·y₀ = 1

Μ(x₀,y₀)∈ε₂: α₂·x + β₂·y = 1 ⇒ α₂·x₀ + β₂· y₀ = 1 ⇒ (α₂,β₂)∈ε: x·x₀ + y·y₀ = 1

Μ(x₀,y₀)∈ε₃: α₃·x + β₃·y = 1 ⇒ α₃·x₀ + β₃· y₀ = 1 ⇒ (α₃,β₃)∈ε: x·x₀ + y·y₀ = 1

Έτσι, τα σημεία (α₁,β₁), (α₂,β₂), (α₃,β₃) βρίσκονται στην ίδια ευθεία, την ε: x·x₀ + y·y₀ = 1, άρα είναι συγγραμικά.

Όπως και στη λύση του βιβλίου λύσεων, είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι το σημείο Μ(x₀,y₀) δεν μπορεί να είναι το (0,0). Εύκολα προκύπτει με απαγωγή σε άτοπο:
Αν το Μ είναι το (0,0), τότε Μ(0,0)∈ε₁: 0·x + 0·y = 1 ⇒ 0 = 1, άτοπο.
Αυτό εξασφαλίζει ότι η εξίσωση της ε: x·x₀ + y·y₀ = 1 είναι πάντα ευθεία, καθώς τα x₀, y₀ δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν.

Коментари

Нема коментара на овај чланак.

Вама није дозвољено да пишете коментаре. Молим Вас да се пријавите.