Μία διαφορετική και γρήγορη λύση

print
email
Poslednja izmena 20 Jul, 2013 16:32 od strane Παντελής Πετρίδης

Κατεύθυνση Β' §2 Η ευθεία στο επίπεδο, Γενικές Ασκήσεις 3 (σελ. 77)

Άσκηση

Αν οι τρεις ευθείες ακx + βκy = 1, με κ = 1, 2, 3, διέρχονται από το ίδιο σημείο, να αποδείξετε ότι τα σημεία (ακκ), κ = 1, 2, 3, είναι συγγραμικά. 

 

Παρατηρήσεις 

Παραθέτω μία λύση αρκετά διαφορετική και πολύ πιο γρήγορη από αυτήν στο βιβλίο λύσεων. Πιστεύω πως και οι δύο λύσεις βρίσκονται εκτός κάποιας συνηθισμένης μεθοδολογίας και ίσως αναπόφευκτα, καθώς και η άσκηση είναι ιδιαίτερη.

Η λύση που παραθέτω είναι παρόμοια με τη λύση της άσκησης Β’ομ.3 της σελ. 88 (πολική ευθεία κύκλου).

 

Λύση

Αν Μ(x0,y0) το σημείο από το οποίο διέρχονται οι τρεις ευθείες?, τότε έχουμε

Μ(x0,y0)∈ε1: α1·x + β1·y = 1 ⇒ α1·x0 + β1· y0 = 1 ⇒ (α11)∈ε: x·x0 + y·y0 = 1

Μ(x0,y0)∈ε2: α2·x + β2·y = 1 ⇒ α2·x0 + β2· y0 = 1 ⇒ (α22)∈ε: x·x0 + y·y0 = 1

Μ(x0,y0)∈ε3: α3·x + β3·y = 1 ⇒ α3·x0 + β3· y0 = 1 ⇒ (α33)∈ε: x·x0 + y·y0 = 1

Έτσι, τα σημεία (α11), (α22), (α33) βρίσκονται στην ίδια ευθεία, την ε: x·x0 + y·y0 = 1, άρα είναι συγγραμικά.

 

Όπως και στη λύση του βιβλίου λύσεων, είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι το σημείο Μ(x0,y0) δεν μπορεί να είναι το (0,0). Εύκολα προκύπτει με απαγωγή σε άτοπο:
Αν το Μ είναι το (0,0), τότε Μ(0,0)∈ε1: 0·x + 0·y = 1 ⇒ 0 = 1, άτοπο.
Αυτό εξασφαλίζει ότι η εξίσωση της ε: x·x0 + y·y0 = 1 είναι πάντα ευθεία, καθώς τα x0, y0 δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν.

Pročitano 4758 puta

Komentari

Nema komentara na ovaj članak.

Vama nije dozvoljeno da pišete komentare. Molim Vas da se prijavite.