Μία παρατήρηση για την αποδεικτική διαδικασία στη Γεωμετρία

print
email
En son güncelleme 20 Temmuz 2013, 15:32 İleten: Παντελής Πετρίδης

Ευκλείδεια Γεωμετρία §9.5 Θεωρήματα διαμέσων, Ερωτήσεις Κατανόησης 2 (σελ. 198)

Κατά την αποδεικτική διαδικασία, για να δείξουμε π.χ. ότι μία πρόταση ισχύει για κάθε τρίγωνο, δείχνουμε ότι η πρόταση ισχύει για ένα τυχαίο τρίγωνο. Αυτήν την αντιστοιχία μεταξύ του «κάθε» και του «τυχαίου» θίγει και η παρακάτω παρατήρηση. Μόνο που εδώ, αντί του «κάθε», χρειαζόμαστε δύο «τυχαία» και όχι ένα.

Άσκηση (Παράγραφος 9.5 – Θεωρήματα διαμέσων, Ερ. Κατανόησης 2, σελ. 198)
Στο διπλανό σχήμα να συμπληρώσετε τα κενά
i) ΜΑ² + ΜΒ² = ....... + .......
ii) ΜΓ² + ΜΔ² = ....... + .......
Να εξηγήσετε γιατί ΜΑ² + ΜΒ² = ΜΓ² + ΜΔ²

Λύση
Σύμφωνα με το 1° θεώρημα διαμέσων:
i) \(ΜΑ^2+ΜΒ^2=2ΟΜ^2+{ΑΒ^2 \over 2}\)
ii) \(ΜΓ^2+ΜΔ^2=2ΟΜ^2+{ΓΔ^2 \over 2}\)
Τα δεύτερα μέλη είναι ίσα (ΑΒ=ΓΔ ως διάμετροι), άρα και τα πρώτα, άρα ΜΑ² + ΜΒ² = ΜΓ² + ΜΔ².

Παρατηρήσεις
Στην παραπάνω άσκηση μπορούμε και οφείλουμε να προσθέσουμε ένα επιπλέον ερώτημα: «Να διατυπώσετε τη γενικότερη πρόταση που προκύπτει από τα παραπάνω». Η απάντηση στο ερώτημα αυτό συμπληρώνει την άσκηση και ολοκληρώνει τον στόχο της, ο οποίος φανερώνεται παρακάτω.
Έχω απευθύνει την ερώτηση αυτή στην τάξη. Στην αρχή δεν πήρα κάποια απάντηση, ούτε όμως αισιοδοξούσα ιδιαίτερα για κάτι τέτοιο. Ήθελα να δημιουργήσω έναν πρώτο προβληματισμό. Οι προσπάθειες των μαθητών, όμως, μου έδωσαν λαβή για τη συνέχεια. Μου μιλούσαν για «άθροισμα τετραγώνων αποστάσεων από τα άκρα δύο διαμέτρων». Τους ρώτησα: «Αν φέρουμε και τρίτη διάμετρο δεν μπορούμε να συμπεράνουμε τα ίδια με τις δύο;». Ο συλλογισμός αυτός μας οδήγησε από την τρίτη διάμετρο στην τέταρτη, στις άπειρες και τελικά στην οποιαδήποτε. Στο τέλος, καταλήξαμε στο γενικό συμπέρασμα και πήρα και την τελική απάντηση, τη διατύπωση της πρότασης: «Για κάθε κύκλο και κάθε σημείο το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του σημείου από δύο οποιαδήποτε αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου είναι σταθερό».
 


Μία αντίστοιχη παρατήρηση αλλά και ταυτόχρονα ενδιαφέρουσα πρόταση διδασκαλίας μπορεί να γίνει αμέσως μετά, στην παράγραφο 9.7, στις τέμνουσες κύκλου. Αντί να αποδείξουμε ότι ΡΑ·ΡΒ = ΡΓ·ΡΔ, μπορούμε να μιλήσουμε πρώτα για μία οποιαδήποτε ή για μία μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Ρ και η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β, και στη συνέχεια, ζητώντας να αποδείξουμε ότι το γινόμενο ΡΑ·ΡΒ είναι σταθερό, να διαπιστώσουμε ότι χρειαζόμαστε την παραπάνω σχέση.

Yazı 4295 kez okundu

Yorumlar

Bu yazı için yorum yok.

Yorum ekleme izniniz yok. Giriş yapın.