Μία λύση χωρίς τη χρήση των παραμετρικών εξισώσεων της έλλειψης

print
email
En son güncelleme 20 Temmuz 2013, 15:35 İleten: Παντελής Πετρίδης

Κατεύθυνση Β' §3.3 Η έλλειψη, Άσκηση Β.4 (σελ. 112)

Άσκηση
Αν \(d\), \(d’\) είναι οι αποστάσεις των σημείων \(Γ(0,γ)\) και \(Γ’(0,-γ)\) από την εφαπτομένη της έλλειψης \({x^2 \over α^2}+{y^2 \over β^2}=1\) σε ένα σημείο της \(Μ_1(x_1,y_1)\), να αποδείξετε ότι \(d^2+d'^2=2α^2\).

Παρατηρήσεις
Επειδή το βιβλίο λύσεων χρησιμοποιεί τις παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης, είχα κάποιες αντιδράσεις από μαθητές για το ότι η άσκηση που τους ζήτησα είναι εκτός ύλης. Πράγματι, η λύση είναι εκτός ύλης, αλλά όχι η άσκηση, καθώς λύνεται εξίσου καλά και χωρίς τις παραμετρικές εξισώσεις.

Λύση
Η εφαπτομένη ε στο σημείο \(Μ_1\) έχει εξίσωση \({x_1x \over α^2}+{y_1y \over β^2}=1\) από όπου προκύπτει ότι \(β^2x_1x+α^2y_1y-α^2β^2=0\).
Άρα \(d^2+d'^2\) \(=\) \(d^2(Γ,ε)+d^2(Γ',ε)\) \(=\) \(({|β^2x_10+α^2y_1γ-α^2β^2| \over \sqrt{(β^2x_1)^2+(α^2y_1)^2}})^2+({|β^2x_10+α^2y_1(-γ)-α^2β^2| \over \sqrt{(β^2x_1)^2+(α^2y_1)^2}})^2\) \(=\) \(2{(α^2y_1γ)^2+(α^2β^2)^2 \over (β^2x_1)^2+(α^2y_1)^2}\) \(=\) \(2{α^4y_1^2γ^2+α^4β^4 \over β^4x_1^2+α^4y_1^2}\) \(=\) \(2α^2{α^2y_1^2γ^2+α^2β^4 \over β^4x_1^2+α^4y_1^2}\) \(\stackrel{\rm *}{=}\) \(2α^2{α^2y_1^2(α^2-β^2)+α^2β^4 \over β^2(α^2β^2-α^2y_1^2)+α^4y_1^2}\) \(=\) \(2α^2{α^4y_1^2-α^2β^2y_1^2+α^2β^4 \over α^4y_1^2-α^2β^2y_1^2+α^2β^4}\) \(=\) \(2α^2\)

(*) το \(Μ_1\) βρίσκεται στην έλλειψη, άρα ισχύει \({x_1^2 \over α^2}+{y_1^2 \over β^2}=1\) \(⇒\) \(β^2x_1^2+α^2y_1^2=α^2β^2\) \(⇒\) \(β^2x_1^2=α^2β^2-α^2y_1^2\).

Επέλεξα να λύσω ως προς το \(β^2x_1^2\) ώστε να το αντικαταστήσω. Όμοια θα μπορούσα να πράξω για το \(α^2y_1^2\). Σίγουρα έπρεπε να κάνω ένα από τα δύο, καθώς το αποτέλεσμά μου ήθελα να είναι ανεξάρτητο των \(x_1\), \(y_1\). Για τον ίδιο λόγο, κάνοντας κάτι τέτοιο θα έπρεπε να περιμένω την απλοποίηση όλων των ποσοτήτων που μετέχουν οι \(x_1\), \(y_1\) (και του \(β\) στη συνέχεια). Προτίμησα το πρώτο διότι εμφανίζεται μία φορά (λιγότερες πράξεις).

Yazı 4030 kez okundu

Yorumlar

Bu yazı için yorum yok.

Yorum ekleme izniniz yok. Giriş yapın.